Saga Hlýju hófst árið 1996 þegar Sigurður Rúnar Sæmundsson stofnaði barnatannlækningastofu í Einholti. Árið 2008 fluttist sú stofa í Glæsibæ. Frá 2015 hefur stofan stækkað hratt. Árið 2021 flutti stofan á 2. hæð í turninum í Glæsibæ og er nú ein sú allra stærsta á landinu, með starfstöðvar á tveimur stöðum, í Glæsibæ og Vestmannaeyjum.
Hjá Hlýju starfa á annan tug tannlækna, þar á meðal sérfræðingar í barnatannlækningum, tannfyllingum, tannsjúkdómafræði og fleira.