Saga Hlýju hófst árið 1996 þegar Sigurður Rúnar Sæmundsson stofnaði barnatannlækningastofu í Einholti. Árið 2007 fluttist sú stofa í Glæsibæ og frá 2015 hefur stofan stækkað hratt og er nú ein sú allra stærsta á landinu, með starfstöðvar á þremur stöðum.
Hjá Hlýju starfa á annan tug tannlækna, þar á meðal sérfræðingar í barnatannlækningum, tannholsfræði, tannfyllingum, tannsjúkdómafræði og fleira.